26

предикат {All}x{Exist}yB(x, y)=>{Exist}y{All}xB(x, y)
не является тавтологией, тк
например B(x, y) = (x > y):

{All}x{Exist}y(x > y)=>{Exist}y{All}x(x > y)
= {Exist}x{All}y!(x > y) V {Exist}y{All}x(x > y) =
= {Exist}x{All}y(x <= y) V {Exist}y{All}x(x > y) =(очевидно)=F
*очевидно потому что нет такого (действительного)числа которое меньше либо равно всех чисел,
следовательно перная часть дизьюнкции {Exist}x{All}y(x <= y) ложна
и вторая часть дизьюнкции {Exist}y{All}x(x > y) ложна,
и следовательно дизьюнкция ложна.

25

Очевидно что предикат {Exist}y{All}xB(x, y) => {All}x{Exist}yB(x, y)
является тавтологией.
Приведем доказательство от противного:
если вам кажется что это не очевидно, то попробуйте доказать это формально
...? Что, вам противно? - Это очевидно. Ч. т. д.

Те кому еще не очевидно могут провести следующие рассуждения:
если посылка {Exist}y{All}xB(x, y) ложна, то из нее может следовать, что угодно,
те если {Exist}y{All}xB(x, y) ложно, то импликация истинна,
если посылка {Exist}y{All}xB(x, y) истинна, те
действительно существует такой y для всех x истинно B(x, y), то мы возьмем этот y
для определенности обозначим его y0 и используем его в следствии {All}x{Exist}yB(x, y),
те если для каждого x будем брать y0, то B(x, y) будет истинно, те
{All}x{Exist}yB(x, y) - истинно, а следовательно и импликация будет истинной;
этими рассуждениями мы показали что предикат
{Exist}y{All}xB(x, y) => {All}x{Exist}yB(x, y) истинен во всех состояниях когда определен,
ведь если посылка или следствие U, то и импликация не определенна.
Наглядно это можно представить ввиде таблицы:

P = {Exist}y{All}x B(x, y) => {All}x{Exist}y B(x, y) =
= {All}y{Exist}x !B(x, y) V {All}x{Exist}y B(x, y)

|{All}y{Exist}x !B(x, y) | {All}x{Exist}y B(x, y) | P |
_________________________|________________________|________________________|_____|
| | | |
{All}y{Exist}x !B(x, y) | T | может быть T или F | T |
_________________________|________________________|________________________|_____|
| | | |
{Exist}y{All}x B(x, y) | F | T* | T |
_________________________|________________________|________________________|_____|

*{замечание} данное T означает что если истинно {Exist}y{All}x B(x, y), то
истинно и {All}x{Exist}y B(x, y), те это означает, что
{Exist}y{All}x B(x, y) => {All}x{Exist}y B(x, y) является тавтологией, а
это очевидно ввиду приведенных выше соображений, хотя и является исходным высказыванием.

24

Очевидно что предикат {All}xA(x) => {Exist}yA(y) является тавтологией.
Если Вам не очевидно см док-во от противного выше, и проводи аналогичные рассуждения.
(указание: из всех x выберем некоторое x0 в качестве y)

{All}xA(x) => {Exist}yA(y) = {Exist}x !A(x) V {Exist}yA(y)

| {Exist}x !A(x) | {Exist}yA(y) | P |
_________________________|________________________|________________________|_____|
| | | |
{Exist}x !A(x) | T | может быть T или F | T |
_________________________|________________________|________________________|_____|
| | | |
{All}xA(x) | F | T* | T |
_________________________|________________________|________________________|_____|

{The End}
Если сборная России победит англичан, то вы сдадите коллоквиум.

Если вы не сдадите коллоквиум, то вам всегда рады здесь http://voenkomat.ru/