Вопросы к экзамену по математическому анализу за 1 семестр 2007-08г (гр. 1311, 1361)
1. Последовательность. Предел последовательности. Основные свойства предела последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности.
2. Понятие базы и предела функции по базе. Примеры базы. Замечательные пределы.
3. Непрерывность функции в точке, Определения, эквивалентность различных определений, примеры.
4. Точки разрыва. Разрывы первого и второго родов, примеры точек разрыва.
5. Локальные свойства непрерывной функции.
6. Понятие непрерывной функции на отрезке. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке.
7. Глобальные свойства непрерывной на отрезке функции (достижение максимума и минимума, теорема Больцано-Коши о переходе через ноль функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков).
8. Понятие обратной функции. Определение, достаточные условия существования обратной функции, примеры. Формулировка теоремы об обратной функции и её непрерывности.
9. Дифференцируемость функции во внутренней точке. Определение приращения функции, дифференциала и производной. Связь между дифференцируемостью функции в точке и непрерывностью.
10. Геометрическая интерпретация производной функции , её дифференциала. Уравнение прямой, касательной к графику функции в заданной точке. Понятие нормали к графику, угол между пересекающимися графиками.
11. Основные правила дифференцирования. Производные суммы, произведения и отношения функций. Производные сложной функции. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная векторной функции.
12. Вывод таблицы дифференцирования основных элементарных функций.
13. Производные высших порядков. Примеры общих формул для производных «п-го» порядка. Формула Лейбница.
14. Лемма Ферма о производной в точке внутреннего экстремума. Теорема Ролля.
15. Теорема Лагранжа о конечных приращениях, её геометрическая интерпретация, следствия теоремы для монотонной и постоянной функций.
16. Теорема Коши о двух функциях, удовлетворяющих условиям Лагранжа (как следствие теоремы Лагранжа).
17. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
18. Формулы Тейлора и Тейлора-Маклорена. Постановка задачи, оценка остаточного члена.
19. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора-Маклорена.
20. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума по первой и по старшим производным. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
21. Понятия выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
22. Асимптоты графика функции и их отыскание.
23. Основные этапы исследования функции и построения её графика с использованием первой и второй производных.
24. Понятие кривизны кривой. Формулы вычисления кривизны.
25. Первообразная, неопределённый интеграл.
26. Свойство линейности неопределённого интеграла. Интегрирование по частям, примеры. Замена переменной в неопределённом интеграле, примеры.
27. Интегрирование правильных рациональных дробей (разложение на простейшие, интегрирование простейших дробей).
28. Основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений, универсальная тригонометрическая подстановка.
29. Основные приёмы интегрирования иррациональных выражений. ================================================================
Экзаменационный билет № 1.
1. Непрерывность функции в точке, Определения, эквивалентность различных определений, примеры.
2. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Экзаменационный билет № 2
1. Последовательность. Предел последовательности. Основные свойства предела последовательности
2.Асимптоты графика функции и их отыскание.
Экзаменационный билет № 3
1. Понятие базы и предела функции по базе.
2. Производная векторной функции.
Экзаменационный билет № 4
1.Формула Тейлора. Постановка задачи и единственность её решения.
2. Дифференцируемость функции во внутренней точке. Определение приращения функции, дифференциала и производной. Геометрическая интерпретация.
Экзаменационный билет № 5
1.Предел функции при x--a. Предельный переход и арифметические операции.
2. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.
Экзаменационный билет № 6
1.Определение предела функции по базе. Предельный переход и неравенства.
2. Достаточные условия выпуклости кривой. Определение и достаточные условия существования точки перегиба.
Экзаменационный билет № 7
1.Предел композиции функций.
2. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Экзаменационный билет № 8
1.Формулировка теоремы о существовании обратной функции и её непрерывности. Примеры.
2. Достаточные условия экстремума по старшим производным.
Экзаменационный билет № 9
1.Первый и второй замечательные пределы. Вывод одного из них.
2. Достаточные условия выпуклости графика функции (по производным второго порядка).
Экзаменационный билет № 10
1.Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций.
2. Формулы Маклорена для основных элементарных функций с оценкой остаточного члена.
Экзаменационный билет № 11
1.Непрерывность функции на множестве. Глобальные свойства непрерывных функций.
2. Локальная формула Тейлора с оценкой в форме Пеано.
Экзаменационный билет № 12
1.Понятие равномерной непрерывности функций. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
2. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
Экзаменационный билет № 13
1. Основные правила дифференцирования. Производные суммы, произведения и отношения функций.
2. Понятие базы. Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела.
Экзаменационный билет № 14
1.Дифференцирование обратной функции и функции, заданной неявно.
2. Критерий существования предела монотонной последовательности.
Экзаменационный билет № 15
1. Лемма Ферма о производной в точке внутреннего экстремума. Теорема Ролля.
2. Точки разрыва, их классификация, примеры.
Экзаменационный билет № 16
1.Теорема Лагранжа.
2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума во внутренней точке в терминах первой производной.
Экзаменационный билет № 17
1.Теорема Коши.
2. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства, примеры.
Экзаменационный билет № 18
1.Теорема Лагранжа о конечных приращениях, её геометрическая иллюстрация.
2. Свойство линейности неопределённого интеграла.
Экзаменационный билет № 19
1.Формулы Маклорена для основных элементарных функций с оценкой остаточного члена.
2. Точки разрыва, их классификация.
Экзаменационный билет № 20
1.Теорема Лагранжа о конечных приращениях, её основные следствия.
2. Производная степенной, показательной и логарифмической функций.
